Question

從邊長(zhǎng)為2a的正方形鐵皮的四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，再將四邊向上折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵盒，且要求長(zhǎng)方體的高度x與底面正方形的邊長(zhǎng)的比不超過(guò)常數(shù)t．問(wèn)：
（1）求長(zhǎng)方體的容積V關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）x取何值時(shí)，長(zhǎng)方體的容積V有最大值？

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出長(zhǎng)方體的底面正方形的邊長(zhǎng)和高，便可求出長(zhǎng)方體的容積V解析式．
（2）把容積V變形后使用基本不等式求出最大值，注意分析等號(hào)成立條件能否滿足，
當(dāng)?shù)忍?hào)成立條件不能滿足時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定函數(shù)的最大值．
解答：解：（1）長(zhǎng)方體的底面正方形的邊長(zhǎng)為2a-2x，高為x，所以，容積V=4（x-a）²x，
由，得 0＜x≤，
（2）由均值不等式知V=2（a-x）（a-x）（2x），
當(dāng)a-x=2x，即時(shí)等號(hào)成立．
①當(dāng)，即，；
②當(dāng)，即時(shí)，，
則V′（x）在上單調(diào)遞減，
∴，
∴V（x）在單調(diào)遞增，
∴
總之，若，則當(dāng)時(shí)，；
若，則當(dāng)時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式在函數(shù)最值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最大值．