Question

長(zhǎng)沙市某棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定，棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似地為半徑是R的圓面．該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地，測(cè)量可知邊界
AB=AD=4萬(wàn)米，BC=6萬(wàn)米，CD=2萬(wàn)米．
（1）請(qǐng)計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；
（2）因地理?xiàng)l件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調(diào)整，為了提高棚戶區(qū)改造建筑用地的利用率，請(qǐng)?jiān)趫A弧ABC上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P；使得棚戶區(qū)改造的新建筑用地
APCD的面積最大，并求最大值．

Answer 1

解：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓，
所以∠ABC+∠ADC=180°，連接AC，
由余弦定理：AC²=4²+6²﹣2×4×6×cos∠ABC=4²+2²﹣2×2×4cos∠ADC、
所以cos∠ABC=，
∵∠ABC∈（0，），
故∠ABC=60°．
S_{四邊形ABCD}=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°=8（萬(wàn)平方米）．
在△ABC中，由余弦定理：AC²=AB²+BC²﹣2AB·BCcos∠ABC=16+36﹣2×4×6×．
AC=2．
由正弦定理==2R，
∴2R===，
∴R=（萬(wàn)米）．
（2）∵S_{四邊形APCD}=S_△ADC+S_△APC，
又S△ADC=ADCDsin120°=2，
設(shè)AP=x，CP=y．則S_△APC=xysin60°=xy．
又由余弦定理AC²=x²+y²﹣2xycos60°=x²+y²﹣xy=28．
∴x²+y²﹣xy≥2xy﹣xy=xy．
∴xy≤28，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)
∴S四邊形APCD=2+xy≤2+×28=9，
∴最大面積為9萬(wàn)平方米．