Question

橢圓（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，短軸兩端點(diǎn)B₁、B₂，已知F₁、F₂、B₁、B₂四點(diǎn)共圓，且點(diǎn)（0，3）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，則此橢圓的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由F₁、F₂、B₁、B₂四點(diǎn)共圓，得出b=c，進(jìn)而得到a²=b²+c²=2b²，再設(shè)橢圓的方程（含參數(shù)b），設(shè)H（x，y）為橢圓上一點(diǎn)，化簡點(diǎn)（0，3）到橢圓上的點(diǎn)的距離，利用其最大值，分類討論求出參數(shù)b的值，即得橢圓的方程．
解答：解：∵F₁、F₂、B₁、B₂四點(diǎn)共圓，∴b=c，
∴a²=b²+c²=2b²，
設(shè)橢圓的方程為，N（0，3），
設(shè)H（x，y）為橢圓上一點(diǎn)，則|HN|²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b），
①若0＜b＜3，|HN|²的最大值b²+6b+9=50得    （舍去），
②若b≥3，|HN|²的最大值2b²+18=50得b²=16，
∴所求的橢圓的方程為：．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、函數(shù)最值的求法等，解題時(shí)要注意分類討論思想的合理運(yùn)用．