Question

1．如圖，在矩形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，若$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AM}+μ\overrightarrow{BN}$，則λμ=$\frac{12}{25}$．

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)矩形的長寬分別為2a，2b，得到A，B，C，M，N的坐標(biāo)，利用向量相等得到關(guān)于λ，μ的方程組解之．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)矩形的長寬分別為2a，2b，
得到A（0，0），B（2a，0），C（2a，2b），
M（2a，b），N（a，2b），
所以$\overrightarrow{AC}$=（2a，2b），$\overrightarrow{AM}$=（2a，b），$\overrightarrow{BN}$=（-a，2b），
由$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AM}+μ\overrightarrow{BN}$，則$\left\{\begin{array}{l}{2a=2aλ-aμ}\\{2b=bλ+2bμ}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{6}{5}}\\{μ=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
所以λμ=$\frac{12}{25}$；
故答案為：$\frac{12}{25}$

點(diǎn)評 本題考查了平面向量基本定理的運(yùn)用，利用坐標(biāo)法使得計(jì)算簡便，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．