Question

用長(zhǎng)為18 m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架,要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2∶1,問該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí),其體積最大?最大體積是多少?

Answer 1

解:設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x m,則長(zhǎng)為2x m,高為h==(4.5-3x)(m)(0＜x＜).

故長(zhǎng)方體的體積為V(x)=2x²(4.5-3x)=9x²-6x³(m³)(0＜x＜).從而V′(x)=18x-18x²=18x(1-x).

令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.當(dāng)0＜x＜1時(shí),V′(x)＞0;

當(dāng)1＜x＜時(shí),V′(x)＜0.故在x=1處V(x)取得極大值,并且這個(gè)極大值就是V(x)的最大值.

從而最大體積V=V(1)=9×1²-6×1³=3(m³),此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m,高為1.5 m.

答:當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m,寬為1 m,高為1.5 m時(shí),體積最大,最大體積為3 m³.