Question

已知正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2

6

，其內(nèi)有一個(gè)球和該三棱錐的四個(gè)面都相切，求：
（1）棱錐的全面積；
（2）球的半徑R．

Answer 1

分析：

(1)由題可知，PH=1，取BC的中點(diǎn)E，

連接HE、PE，則HE=

2

，側(cè)面的高PE=

3

，由此能求出棱錐的全面積．
（2）過(guò)O作OG⊥PE于點(diǎn)G，則△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半徑R．

解答：解：

(1)由題可知，PH=1，取BC的中點(diǎn)E，

連接HE、PE，
則HE=

2

，側(cè)面的高PE=

3

，
S_全=3×

1

2

×2

6

×

3

+

1

2

×2

6

×2

6

×

3

2

=9

2

+6

3

．
（2）過(guò)O作OG⊥PE于點(diǎn)G，
則△POG∽△PEH，且OG=OH=R，
∴

1-R

3

=

R

2

，
∴R=

6

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的全面積和球半徑的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．