如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形，其中AB⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=PA=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD，求異面直線PD與BC所成角的余弦值．
分析：（1）取PD的中點F，連接AF，EF，推導出四邊形ABEF為平行四邊形，由此能夠證明BE∥平面PAD．
（2）取CD中點G，連接EG，AG，則∠EGA就是異面直線PD與BC所成角，再由余弦定理能求出異面直線PD與BC所成角的余弦值．
解答：解：（1）取PD的中點F，連接AF，EF，
∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形，其中AB⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，
PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，
∴EF
∥
.
AB，∴四邊形ABEF為平行四邊形，
∴BE∥AF，
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）取CD中點G，連接EG，AG，AE，則EG∥PD，AG∥BC，
∴∠EGA就是異面直線PD與BC所成角，
設(shè)AB=a，∵BE⊥平面PCD，CD=AD=PA=2AB，ABCD為一直角梯形，
AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，
∴PD=2
2
a，EG=
2
a，AG=
5
a，AE=
1
2
PC=
3
a，
∴cos∠EGA=
EG2+AG2-AE2
2EG•AG
=
2a2+5a2-3a2
2×
2
a×
5
a
=
10
5
．
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意余弦定理的合理運用．
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相關(guān)習題

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精英家教網(wǎng)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角C-PD-E的大小；
（Ⅲ）求點B到平面PDE的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是一個矩形，AB=3．AD=1．又PA⊥AB，PA=4，
∠PAD=60°．求：
（1）四棱錐P-ABCD的體積．
（2）二面角P-BC-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP～△BAD．
（1）求線段PD的長；
（2）若PC=
11
R，求三棱錐P-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•煙臺一模）如圖所示，四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥AD，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點．
求證：
（1）BC∥平面EFG；
（2）平面EFG⊥平面PAB．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點，PA=AD=AB=1．
（1）證明：EB∥平面PAD；
（2）證明：BE⊥平面PDC；
（3）求三棱錐B-PDC的體積V．

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