Question

已知向量，，（k為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直，F(xiàn)（x）=xe^xf′（x）．
（Ⅰ）求k的值及F（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=-x²+2ax（a為正實數(shù)），若對于任意x₂∈[0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量平行的條件求出函數(shù)y=f（x），再求出此函數(shù)的導函數(shù)，函數(shù)在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，說明f^′（1）=0，則k值可求；從而得出F（x）的解析式，求出函數(shù)F（x）的定義域，然后讓導函數(shù)等于0求出極值點，借助于導函數(shù)在各區(qū)間內的符號求函數(shù)F（x）的單調區(qū)間．
（II）對于任意x₂∈[0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），等價于g（x）_max＜F（x）_max，再求得F（x）取得最大值；利用二次函數(shù)的圖象，對a進行分類討論，得出g（x）在[0，1]上的最大值，由g（x）在[0，1]上的最大值小于F（x）_max得a的范圍，結合分類時a的范圍得a的取值范圍．
解答：解：（I）由已知可得：f（x）=，
∴，
由已知，，
∴k=1…（2分）
∴F（x）=xe^xf'（x）=，
所以F'（x）=-lnx-2…（3分）
由，
由
∴F（x）的增區(qū)間為，減區(qū)間為…（5分）
（II）∵對于任意x₂∈[0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），
∴g（x）_max＜F（x）_max…（6分）
由（I）知，當時，F(xiàn)（x）取得最大值．…（8分）
對于g（x）=-x²+2ax，其對稱軸為x=a
當0＜a≤1時，，
∴，從而0＜a≤1…（10分）
當a＞1時，g（x）_max=g（1）=2a-1，
∴，從而…（12分）
綜上可知：…（13分）
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，屬于難題．