Question

如果f（x）是函數(shù)f（x）的一個極值，稱點(diǎn)（x，f（x））是函數(shù)f（x）的一個極值點(diǎn)．已知函數(shù)f（x）=（ax-b）（x≠0且a≠0）
（1）若函數(shù)f（x）總存在有兩個極值點(diǎn)A，B，求a，b所滿足的關(guān)系；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個極值點(diǎn)A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的區(qū)域內(nèi)時實(shí)數(shù)b的范圍．
（3）若函數(shù)f（x）恰有一個駐點(diǎn)A，且存在a∈R，使A在不等式表示的區(qū)域內(nèi)，證明：0≤b＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，若函數(shù)f（x）總存在有兩個極值點(diǎn)?f′（x）=0有兩個根，從而確定a，b的關(guān)系
（2）轉(zhuǎn)化為在（-1，1）內(nèi)f′（x）=0有兩個不等實(shí)根
結(jié)合（1）及根的分布可知，⇒，從而求b的取值范圍
（3）若函數(shù)f（x）恰有一個極值點(diǎn)且存在a∈R，使A在不等式①?x²-ax+b=0的根在①的區(qū)域內(nèi)只有一個，結(jié)合根的分別可求結(jié)果．
解答：解：（1）
令f'（x）=0得x²-ax+b=0
∵函數(shù)f（x）總存在有兩個極值點(diǎn)
∴x²-ax+b=0由2個不同的實(shí)數(shù)根
∴a²-4b＞0
又∵a≠0且x≠0
∴（3分）
（2）x²-ax+b=0在（-1，1）有兩個不相等的實(shí)根．
即得
∴-1＜b＜1且b≠0（7分）
（3）由①f'（x）=0⇒x²-ax+b=0（x≠0）
①當(dāng)在x=a左右兩邊異號
∴（a，f（a））是y=f（x）的唯一的一個極值點(diǎn)
由題意知即即0＜a²＜1
存在這樣的a的滿足題意
∴b=0符合題意（9分）
②當(dāng)b≠0時，f′（x）=
△=a²-4b=0即4b=a²
這里函數(shù)y=f（x）唯一的一個駐點(diǎn)為
由題意
即即
∴0＜b＜1（13分）
綜上知：滿足題意b的范圍為b∈[0，1）．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件及有限制條件的極值的取值，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，轉(zhuǎn)化為實(shí)根分布問題．