Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax-1，若f（x）在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m取值范圍．

Answer 1

分析：利用函數(shù)f（x）在x=-1處取得極值，先求出a．要使直線y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則說(shuō)明m小于極大值，大于極小值．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x³-3ax-1，
∴f'（x）=3x²-3a，
∵f（x）在x=-1處取得極值，
∴f'（-1）=0，即3-3a=0，解得a=1，
∴f（x）=x³-3x-1，f'（x）=3x²-3=3（x²-1）=3（x-1）（x+1），
當(dāng)f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1，當(dāng)f'（x）＜0，得-1＜x＜1，
即函數(shù)在x=-1處取得極大值f（-1）=1，在x=1處取得極小值f（1）=-3，
要使直線y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則m小于極大值，大于極小值，
∴-3＜m＜1，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-3，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．要注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想去解決．