Question

過雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）（c＞0），作圓x²+y²=的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交雙曲線右支于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為    ．

Answer 1

【答案】分析：判斷出E為PF的中點(diǎn)，據(jù)雙曲線的特點(diǎn)知原點(diǎn)O為兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)；利用中位線的性質(zhì)，求出PF′的長度及判斷出PF′垂直于PF；通過勾股定理得到a，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率．
解答：解：∵，
∴E為PF的中點(diǎn)，令右焦點(diǎn)為F′，則O為FF′的中點(diǎn)，
則PF′=2OE=a，
∵E為切點(diǎn)，
∴OE⊥PF
∴PF′⊥PF
∵PF-PF′=2a
∴PF=PF′+2a=3a
在Rt△PFF′中，PF²+PF′²=FF′²
即9a²+a²=4c²
⇒所以離心率e=
故答案為：．
點(diǎn)評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，在圓錐曲線中，求離心率關(guān)鍵就是求三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．