Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若f（A）=0且a=4，b+c=5．求△ABC的面積．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）首先利用三角恒等變換把函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成正弦型函數(shù)，進一步求出最小正周期和單調(diào)區(qū)間．
（2）利用（1）的結(jié)論，先根據(jù)角A的范圍，利用f（A）=0先求出A的值，進一步利用余弦定理求出
bc=3，再利用三角形的面積公式求出結(jié)果．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
則：函數(shù)的最小正周期：T=

2π

2

=π
令：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）
則：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

π

6

+kπ，kπ+

π

3

]（k∈Z）
（2）由（1）得：f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，
則：f(A)=sin(2A-

π

6

)-1=0
由于：0＜A＜π
所以：-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

2A-

π

6

=

π

2

解得：A=

π

3

由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA
解得：bc=3
S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

3

點評：本題考查的知識點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間的確定，利用角的范圍確定角的大小，余弦定理得應用，三角形面積的應用．