Question

13．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)n∈N^*都有S_n=1-a_n，若b_n=log₂a_n，則$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}$+$\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}$+…+$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 對(duì)n∈N^*都有S_n=1-a_n，n=1時(shí)，a₁=1-a₁，解得a₁．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．b_n=log₂a_n=-n．可得$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．

解答 解：對(duì)n∈N^*都有S_n=1-a_n，n=1時(shí)，a₁=1-a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=1-a_n-（1-a_n-1），化為：a_n=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{2}$，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$．
a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴b_n=log₂a_n=-n．
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{-n（-n-1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
則$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}$+$\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}$+…+$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．