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已知函數f(x)=log3(ax2+2x+3)，a∈R．
（1）若f（x）的定義域為R，求a的范圍； 
（2）若f（x）的值域為R，求a的范圍．
分析：（1）由f（x）的定義域為R，可得ax2+2x+3＞0恒成立，a=0不合題意．由
a＞0
△=22-4•a•3＜0
求得a的范圍．
（2）由f（x）的值域為R，則y=ax2+2x+3能取遍所有的正數．分①若a=0和②a≠0兩種情況，分別求得a的范圍，再取并集，即得所求．
解答：解：（1）由f（x）的定義域為R，可得ax2+2x+3＞0恒成立．
若a=0時，2x+3＞0，x＞-
3
2
，不合題意，所以a≠0．
由
a＞0
△=22-4•a•3＜0
得：a＞
1
3
，即a的范圍為（
1
3
，+∞）．
（2）由f（x）的值域為R，則y=ax2+2x+3能取遍所有的正數．
①若a=0時，y=2x+3可以取遍一切正數，符合題意．
②若a≠0時，需
a＞0
△=22-4•a•3≥0
，即0＜a≤
1
3
．
綜上，實數a的取值范圍為[0，
1
3
]．
點評：本題主要考查對數函數的定義域和值域，二次函數的性質應用，體現(xiàn)了分類討論的數學思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數），直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數．

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