Question

已知曲線C：y=x²與直線l：x-y+2=0交于兩點A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D．設(shè)點P（s，t）是L上的任一點，且點P與點A和點B均不重合，若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：欲求線段PQ的中點M的軌跡方程，先利用中點M的坐標(biāo)反表示出P點的坐標(biāo)，由點P在曲線C上，即求得到中點M的坐標(biāo)的關(guān)系，從而解決問題．
解答：解：聯(lián)立y=x²與y=x+2得x_A=-1，x_B=2，
則AB中點，
設(shè)線段PQ的中點M坐標(biāo)為（x，y），
則，
即，又點P在曲線C上，
∴化簡可得，
又點P是L上的任一點，且不與點A和點B重合，
則，即，
∴中點M的軌跡方程為（）．
點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題，參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x，y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程．