Question

已知函數(shù)f（x）=log₃x，函數(shù)g(x)=log

1

3

(mx2+2mx+1)．
（1）若g（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[

1

9

，  9]時(shí)，求函數(shù)y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）．

Answer 1

分析：（1）利用恒成立的意義，對(duì)m分m=0與m≠0討論，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）x∈[

1

9

，9]時(shí)，構(gòu)造函數(shù)t=f（x），t∈[-2，2]，其對(duì)稱軸為t=a，對(duì)a分a＜-2，-2≤a≤2與a＞2討論，利用函數(shù)y=t²-2at+3在[-2，2]上在的單調(diào)性即可求得
其最小值h（a）．

解答：解：（1）由題意mx²+2mx+1＞0對(duì)任意x∈R恒成立．
若m=0，則有1＞0對(duì)任意x∈R恒成立，滿足題意．
若m≠0，
則

m＞0 △=4m2-4m＜0

，
整理得

m＞0 0＜m＜1

，解得0＜m＜1．
∴m的取值范圍為[0，1）
（2）x∈[

1

9

，9]時(shí)，令t=f（x），t∈[-2，2]，
y=f²（x）-2af（x）+3=t²-2at+3，其對(duì)稱軸為t=a，
 ①若a＜-2，y=t²-2at+3在[-2，2]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=-2時(shí)，y_min=（-2）²-2a•（-2）+3=7+4a；．
 ②若-2≤a≤2，當(dāng)t=a時(shí)，y_min=a²-2a•a+3=3-a²；．
 ③若a＞2，同理可得，y=t²-2at+3在[-2，2]上單調(diào)遞間，
∴當(dāng)t=2時(shí)，y_min=2²-2a•a+3=7-4a；
∴h（a）=

7+4a，a＜-2 3-a2，-2≤a≤2 7-4a，a＞2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，著重考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．