Question

已知函數(shù)
（1）f（x）為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）當(dāng)m=1時(shí)，且1≥a＞b≥0，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)定義域得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0不能恒成立，所以只能整理導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，分離參數(shù)得到結(jié)論；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的極值與最值；
（3）當(dāng)m=1時(shí)，構(gòu)造新函數(shù)g（x），對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，得到新函數(shù)在[0，1]上遞增，利用遞增函數(shù)的定義，寫出遞增所滿足的條件，再構(gòu)造新函數(shù)h（x），同理得到函數(shù)在[0，1]上遞減，得到遞減的條件，得到結(jié)論．
解答：（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=+m．
∵x＞-，∴＞0，∴不存在實(shí)數(shù)m，使f′（x）=+m＜0對(duì)x＞-恒成立，
由f′（x）=+m≥0對(duì)x＞-恒成立得，m≥對(duì)x＞-恒成立
而＜0，故m≥0
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m≥0時(shí)，對(duì)x＞-恒成立
∴當(dāng)m≥0時(shí)，f（x）為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）解：當(dāng)m=-1時(shí)，由f′（x）=-1=0，可得x=0
當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（0+∞）時(shí)，f′（x）＜0
∴函數(shù)f（x）在x0時(shí)取得最大值，最大值為f（0）=0
（3）證明：當(dāng)m=1時(shí)，令
∴在[0，1]上總有g(shù)′（x）≥0，即g（x）在[0，1]上遞增
∴當(dāng)1≥a＞b≥0時(shí)，g（a）＞g（b），即．
令，
由（2）知它在[0，1]上遞減，
∴h（a）＜h（b）
即
綜上所述，當(dāng)m=1，且1≥a＞b≥0時(shí)，
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查根據(jù)需要構(gòu)造新函數(shù)，考查遞增函數(shù)的定義，考查函數(shù)的恒成立問題，考查解決問題的能力和分析問題的能力，是一個(gè)中檔題．