Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y）（x，y∈R），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1；f（2）=4．
（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；　　
（Ⅱ）證明：f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)；
（III） 若對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y）（x，y∈R），
且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，f（2）=4，
∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=4，
∴f（1）=2，或f（1）=-2（舍）．
故f（1）=2．
∵f（1）=f（（-1）+2）=f（-1）•f（2），
∴f（-1）===．
（Ⅱ）證明：設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]
∵x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞1
∴f（x₂-x₁）-1＞0，
∵f（x₁）=f（）=[f（）]²＞0，
∴f（x₁）f[（x₂-x₁）-1]＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在R上是增函數(shù)．
（III）解：∵，
∴f（x²-ax+a）•f（x²-ax+a）=f（2x²-2ax+2a）≥2=f（1），
∵f（x）在R上是增函數(shù)，
∴2x²-2ax+2a≥1，
∴由對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，
得2x²-2ax+2a≥1對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，
∵y=2x²-2ax+2a-1的對(duì)稱軸是x=，
∴在[，+∞）上y=2x²-2ax+2a-1是單調(diào)遞增函數(shù)．
∵2x²-2ax+2a≥1對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴≤1，故a≤2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，2]．
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=4，f（1）=f（（-1）+2）=f（-1）•f（2），由此能求出f（1）和f（-1）．
（Ⅱ）設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]，由x₂-x₁＞0，知f（x₂-x₁）-1＞0，再由f（x₁）=f（）=[f（）]²＞0，能夠證明f（x）在R上是增函數(shù)．
（III）由，知f（x²-ax+a）•f（x²-ax+a）=f（2x²-2ax+2a）≥2=f（1），再由f（x）在R上是增函數(shù)，能夠求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查基本不等式，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．