Question

（2012•黑龍江）設函數f（x）=e^x-ax-2．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若a=1，k為整數，且當x＞0時，（x-k） f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間，可先求出函數的導數，由于函數中含有字母a，故應按a的取值范圍進行分類討論研究函數的單調性，給出單調區(qū)間；
（II）由題設條件結合（I），將不等式，（x-k） f?（x）+x+1＞0在x＞0時成立轉化為k＜

x+1

ex-1

+x（x＞0）成立，由此問題轉化為求g（x）=

x+1

ex-1

+x在x＞0上的最小值問題，求導，確定出函數的最小值，即可得出k的最大值；

解答：解：（I）函數f（x）=e^x-ax-2的定義域是R，f′（x）=e^x-a，
若a≤0，則f′（x）=e^x-a≥0，所以函數f（x）=e^x-ax-2在（-∞，+∞）上單調遞增．
若a＞0，則當x∈（-∞，lna）時，f′（x）=e^x-a＜0；當x∈（lna，+∞）時，f′（x）=e^x-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增．
（II）由于a=1，所以，（x-k） f?（x）+x+1=（x-k） （e^x-1）+x+1
故當x＞0時，（x-k） f?（x）+x+1＞0等價于k＜

x+1

ex-1

+x（x＞0）①
令g（x）=

x+1

ex-1

+x，則g′（x）=

-xex-1

(ex-1)2

+1=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

由（I）知，函數h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上單調遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上存在唯一的零點，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點，設此零點為α，則有α∈（1，2）
當x∈（0，α）時，g′（x）＜0；當x∈（α，+∞）時，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（α）．又由g′（α）=0，可得e^α=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）
由于①式等價于k＜g（α），故整數k的最大值為2

點評：本題考查利用導數求函數的最值及利用導數研究函數的單調性，解題的關鍵是第一小題應用分類的討論的方法，第二小題將問題轉化為求函數的最小值問題，本題考查了轉化的思想，分類討論的思想，考查計算能力及推理判斷的能力，綜合性強，是高考的重點題型，難度大，計算量也大，極易出錯．