Question

如圖，四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥
平面ABCD， SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．

（Ⅰ）求SC與平面ASD所成的角余弦；
（Ⅱ）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

本試題主要是考查了線面角的大小的求解和二面角平面角的大小的求解的綜合運(yùn)用。
（1）因?yàn)槔�用空間直角坐標(biāo)系，建立后表示點(diǎn)的坐標(biāo)得到向量的坐標(biāo)，從而利用平面的法向量和直線的方向向量來表示線面角的求解。
（2）同上結(jié)合平面的法向量來表示二面角的平面角的大小，從而得到向量的夾角相等或者互補(bǔ)。
解：（Ⅰ）如圖建系，

S(0,0,2), C(2,2,0), D(1,0,0),
，故平面ASD的一個法向量為……………3分
設(shè)SC與平面ASD所成的角為則
故，即SC與平面ASD所成的角余弦為…………………6分
（Ⅱ）平面SAB的一個法向量為
設(shè)平面SCD的一個法向量為
由令z=1可得平面SCD的一個法向量為
顯然，平面SAB和平面SCD所成角為銳角，不妨設(shè)為則
即平面SAB和平面SCD所成角的余弦………………12分