Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，點D是AB的中點，
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁．
（3）求二面角C₁-AB-C的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證AC⊥BC₁，而BC₁?平面BCC₁B₁，可先證AC⊥平面BCC₁B₁，而AC⊥BC，AC⊥CC₁，且BC∩CC₁=C，滿足定理所需條件；
（2）欲證AC₁∥平面CDB₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AC₁與平面CDB₁內(nèi)一直線平行，設CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，根據(jù)中位線定理可知DE∥AC₁，DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，滿足定理條件；
（3）過點C作CF⊥AB于F，連接C₁F，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠C₁FC為二面角C₁-AB-C的平面角，在直角三角形C₁FC中求出此角的正切值即可．
解答：證明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∵底面三邊長AC=3，AB=5，BC=4，
∴AC⊥BC，（1分）
又直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC⊥CC₁，
且BC∩CC₁=C
BC∩CC₁?平面BCC₁B₁
∴AC⊥平面BCC₁B₁
而BC₁?平面BCC₁B₁
∴AC⊥BC₁；
（2）設CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，（5分）
∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，
∴DE∥AC₁，（7分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．（8分）
（3）解：過點C作CF⊥AB于F，連接C₁F（9分）
由已知C₁C垂直平面ABC，則∠C₁FC為二面角C₁-AB-C的平面角（11分）
在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，BC=4，則CF=（12分）
又CC₁=AA₁=4
∴tan∠C₁FC=（13分）
∴二面角C₁-AB-C的正切值為（14分）
點評：本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)，以及線面平行的判定和二面角的度量，同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．