Question

5．中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線C的兩條漸近線與圓（x-2）²+y²=3相切，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出圓心和半徑，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，設(shè)切線方程為y=kx，解方程可得k，進(jìn)而得到雙曲線的漸近線方程，再討論雙曲線的焦點(diǎn)位置，得到a，b的關(guān)系式，進(jìn)而求得雙曲線的離心率．

解答 解：圓（x-2）²+y²=3的圓心為（2，0），半徑為$\sqrt{3}$，
設(shè)切線方程為y=kx，
由$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
解得k=±$\sqrt{3}$，
可得雙曲線的漸近線的方程為 y=±$\sqrt{3}$x，
①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即有$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+3}$=2；
②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即有$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 解題的關(guān)鍵是：由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程，再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式，從而解出雙曲線的離心率的值．此題易忽視兩解得出錯(cuò)誤答案．