Question

已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，點M是棱AA'的中點，點O是對角線BD'的中點．
（Ⅰ）求證：OM⊥平面BDD′；
（Ⅱ）A′B′上是否存在點N使A′N∥面MCD′，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）求三棱錐M-OBC的體積．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）連接AC，取AC中點K，則K為BD的中點，連接OK，證明AK⊥平面BDD′B′，AK⊥BD′，MO⊥BD′，即可證明OM為異面直線AA′和BD′的公垂線
（2）取BB′中點N，連接MN，則MN⊥平面BCC′B′過點N作NH⊥BC′于H，連接MH，說明MHN為二面角M-BC′-B′的平面角，在Rt△MNH中，求出tan∠MHN，可得二面角M-BC′-B′的大小為arctan2
（3）通過V_M-OBC=V_M-OA′D′=V_O-MA′D′求出底面面積與高即可求出體積．
解法二：以點D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系D-xyz，求出A，B，C，A′，C′，D′，坐標
（1）求出M，O的坐標，得到，，，通過=0，=0，
證明OM⊥AA′，OM⊥BD′，即可證明故OM為異面直線AA′和BD′的公垂線．
（2）求出平面BMC′的一個法向量為，平面BC′B′的一個法向量為，利用cos，求出二面角M-BC′-B′的大小．
（3）求出S_△OBC與S_△BCD'A，求出設(shè)平面OBC的一個法向量為，點M到平面OBC的距離d=，
然后求出V_M-OBC．
解答：解法一：（1）連接′AC，取AC中點K，則K為BD的中點，連接OK
因為M是棱AA′的中點，點O是BD′的中點
所以AM∥DD′∥OK，AM=DD′=OK，
所以MO∥AK，MO=AK，
由AA′⊥AK，得MO⊥AA′
因為AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′
所以MO⊥BD′
又因為OM是異面直線AA′和BD′都相交
故OM為異面直線AA′和BD′的公垂線
（2）取BB′中點N，連接MN，則MN⊥平面BCC′B′
過點N作NH⊥BC′于H，連接MH
則由三垂線定理得BC′⊥MH
從而，∠MHN為二面角M-BC′-B′的平面角
MN=1，NH=Bnsin45°==
在Rt△MNH中，tan∠MHN==2．
故二面角M-BC′-B′的大小為arctan2
（3）易知，S_△OBC=S_△OA′D′，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′內(nèi)
點O到平面MA′D′距離h=，
V_M-OBC=V_M-OA′D′=V_O-MA′D′=S_△MA′D′h=
解法二：
以點D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系D-xyz
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A′（1，0，1），C′（0，1，1），D′（0，0，1）
（1）因為點M是棱AA′的中點，點O是BD′的中點
所以M（1，0，），O（，，）
，=（0，0，1），=（-1，-1，1）
=0，+0=0，
所以O(shè)M⊥AA′，OM⊥BD′
又因為OM與異面直線AA′和BD′都相交
故OM為異面直線AA′和BD′的公垂線．…（4分）
（2）設(shè)平面BMC′的一個法向量為=（x，y，z）
=（0，-1，），=（-1，0，1）
  即
取z=2，則x=2，y=1，從而=（2，1，2）
取平面BC′B′的一個法向量為=（0，1，0）
cos，
由圖可知，二面角M-BC′-B′的平面角為銳角
故二面角M-BC′-B′的大小為arccos…（9分）
（3）易知，S_△OBC=S_△BCD'A′=
設(shè)平面OBC的一個法向量為=（x₁，y₁，z₁）
=（-1，-1，1），=（-1，0，0）
  即
取z₁=1，得y₁=1，從而=（0，1，1）
點M到平面OBC的距離d=，
V_M-OBC=…（12分）
點評：本小題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應用向量知識解決數(shù)學問題的能力．