Question

已知函數．
（1）若f（x）在x=2時取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調區(qū)間；
（3）求證：當x＞1時，．

Answer 1

【答案】分析：（1）若（x）在x=2時取得極值，則f′（2）=0，根據已知中函數的解析式，求出導函數的解析式，代入即可構造關于a的方程，解方程即可得到答案．
（2）由已知中函數的解析式，求出導函數的解析式，然后分類討論a在不同取值時，導函數在不同區(qū)間上的符號，即可確定f（x）的單調區(qū)間；
（3）構造函數g（x）=，利用導數法判斷其在定義上的單調性后，易得g（x）＞0恒成立，進而得到結論．
解答：解：（1）∵．
∴
又∵f（x）在x=2時取得極值，
∴，解得a=4
（2）∵，（x＞0）
當a＜0時，又由x＞0，易得f′（x）＞0，f（x）為增函數，
故當a＜0時，（0，+∞）為函數的單調遞增區(qū)間；
當a=0，f（x）=x²，當x∈[0，+∞）時，f′（x）≥0，f（x）為增函數，
故當a=0時，[0，+∞）為函數的單調遞增區(qū)間；
當a＞0時，當x∈（0，）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數，
當x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，
故當a＜0時，（0，）為函數的單調遞減區(qū)間，（，+∞）為函數的單調遞增區(qū)間；
（3）令g（x）=，
則g′（x）===
∵當x＞1時，g′（x）＞0
故在（1，+∞）上，g（x）=為增函數
即當x＞1時，g（x）＞g（1）=＞0
故當x＞1時，．
點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，利用導數研究函數的單調性，導數在最大值、最小值問題中的應用，其中根據已知中函數的解析式，求出導函數的解析式，進而確定導函數的符號是解答此類問題的關鍵．