Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1．
（1）求f（x）的最小正周期及振幅；
（2）試判斷f(

π

6

-x)與f(

π

6

+x)的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）若x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)中參數(shù)的幾何意義及周期計(jì)算公式，即可得f（x）的最小正周期及振幅；（2）可以利用誘導(dǎo)公式分別化簡(jiǎn)兩個(gè)函數(shù)式來(lái)進(jìn)行證明，也可先證明x=

π

6

是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，從而證明兩式相等；（3）先求內(nèi)層函數(shù)的值域，再利用正弦函數(shù)的圖象求函數(shù)f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值

解答：解：（1）f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，振幅A=2
（2）f(

π

6

+x)=f(

π

6

-x)
法一：因?yàn)?span id="7qedu9n" class="MathJye">f(

π

6

+x)=2sin(

π

3

+2x+

π

6

)+1=2sin(2x+

π

2

)+1=2cos2x+1
f(

π

6

-x)=2sin(

π

3

-2x+

π

6

)+1=2sin(

π

2

-2x)+1=2cos2x+1
所以f(

π

6

+x)=f(

π

6

-x)
法二：因?yàn)?span id="tscq2xh" class="MathJye">f(

π

6

)=2sin(

π

3

+

π

6

)+1=2sin

π

2

+1=3為函數(shù)的最大值，
所以x=

π

6

是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，所以f(

π

6

+x)=f(

π

6

-x)．
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴-1≤2sin(2x+

π

6

)≤2，
∴0≤f（x）≤3
∴f（x）的最小值為0； f（x）的最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)值域的求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用