Question

如圖所示，在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面ABC，AC⊥AB，SA=SB=AB=2，AC=1
（1）求異面直線AB與SC所成的角的余弦值；
（2）在線段AB上求一點(diǎn)D，使CD與平面SAC成45°角．

Answer 1

分析：（1）取AB的中點(diǎn)O，以AB為x軸，OS為z軸，過O作AC的平行線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．利用向量

AB

 ，

SC

夾角求出面直線AB與SC所成的角，應(yīng)注意兩角是相等或互補(bǔ)關(guān)系．
（2）設(shè)D（a，0，0），利用

CD

與平面SAC的法向量夾角表示出CD與平面SAC所成角，列出關(guān)于a的方程并解出即可．

解答：解：（1）取AB的中點(diǎn)O，連接OS，則有OS⊥AB
又∵平面SAB⊥平面ABC，
∴OS⊥平面ABC       …（2分）
∴以AB為x軸，OS為z軸，過O作AC的平行線為y軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
∵A（-1，0，0），B（1，0，0），C（-1，1，0），
S（0，0，

3

），
∴

AB

=(2，0，0)，

SC

=(-1，1，-

3

)，
∴cos＜

AB

，

SC

＞=

AB • SC

| AB |•| SC |

=

-2

2× 5

=-

5

5

…（5分）
又異面直線AB與SC所成角大于0，小于等于

π

2

，故異面直線AB與SC所成的角的余弦值為

5

5

…（6分）
（2）依題意可設(shè)D（a，0，0），其中a∈[-1，1]，
∴

CD

=(a+1，-1，0)
設(shè)平面SAC的法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

SA

=(-1，0，-

3

)，

AC

=(0，1，0)
∴

-x- 3 z=0 y=0

，取

n

=(

3

，0，-1)…（8分）
設(shè)CD與平面SAC所成的角為θ，則sinθ=|cos＜

CD

，

n

＞|=

3 (a+1)

(a+1)2+1 ×2

=

2

2

∴

3

(a+1)=

2•

a2+2a+2

…（10分）
兩邊同平方，化簡得a²+2a-1=0
∴a=-1-

2

(舍去)或者a=

2

-1
所以滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

2

-1，0，0)…（12分）

點(diǎn)評：本題考查異面直線夾角，線面角的大小度量．通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，來進(jìn)行有關(guān)證明或計(jì)算，可以有效地降低思維難度． 但要注意所求角與有關(guān)向量夾角的大小關(guān)系．