Question

設橢圓C：（a＞0）的兩個焦點是F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），且橢圓C與圓x²+y²=c²有公共點．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）若橢圓上的點到焦點的最短距離為，求橢圓的方程；
（Ⅲ）對（2）中的橢圓C，直線l：y=kx+m（k≠0）與C交于不同的兩點M、N，若線段MN的垂直平分線恒過點A（0，-1），求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知，a＞1，方程組有實數解，從而，由此能得到a的取值范圍．
（Ⅱ）設橢圓上的點P（x，y）到一個焦點F₂（c，0）的距離為d，則
=（-a≤x≤a）．由，當x=a時，d_min=a-c，于是，，由此能導出所求橢圓方程．
（Ⅲ）由，得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0．由直線l與橢圓交于不同兩點，知△＞0，由此入手能求出實數m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由已知，a＞1，
∴方程組有實數解，從而，
故c²≥1，所以a²≥2，即a的取值范圍是．
（Ⅱ）設橢圓上的點P（x，y）到一個焦點F₂（c，0）的距離為d，
則
=（-a≤x≤a）．
∵，
∴當x=a時，d_min=a-c，
（可以直接用結論）
于是，，
解得．
∴所求橢圓方程為．
（Ⅲ）由
得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0（*）
∵直線l與橢圓交于不同兩點，
∴△＞0，即m²＜3k²+1．①
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則x₁、x₂是方程（*）的兩個實數解，
∴，
∴線段MN的中點為，
又∵線段MN的垂直平分線恒過點A（0，-1），
∴AQ⊥MN，
即，即2m=3k²+1（k≠0）②
由①，②得m²＜2m，0＜m＜2，又由②得，
∴實數m的取值范圍是．
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．