Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-9）²，x∈[0，+∞）存在區(qū)間[a，b]⊆[0，+∞），使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇ka，kb]，則最小的k值為（ ）
A．36
B．9
C．4
D．1

Answer 1

【答案】分析：先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后由函數(shù)y=f （x）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇ka，kb]可判斷出k＞0，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性討論a、b，建立方程，即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍，從而求出最小值．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=x（x-9）²=x³-18x²+81x
∴f′（x）=3x²-36x+81=3（x-9）（x-3），x∈[0，+∞），
∴當(dāng)x∈[0，3]時(shí)f′（x）≥0，則函數(shù)在[0，3]上單調(diào)遞增
當(dāng)x∈[3，9]時(shí)f′（x）0，則函數(shù)在[3，9]上單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（9，+∞）時(shí)f′（x）＞0，則函數(shù)在（9，+∞）上單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取極大值108，當(dāng)x=9時(shí)，函數(shù)取極小值0．
（1）當(dāng)a，b∈[0，3]時(shí)，f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，
∴
即在[0，3]上存在兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)使得（x-9）²=k
而y=（x-9）²在[0，3]上單調(diào)遞減，故不存在滿足條件的k值；
（2）當(dāng)a，b∈[3，9]時(shí)，f（x）在[3，9]上為減函數(shù)，
∴
即a=b，此時(shí)實(shí)數(shù)a，b的值不存在．
（3）當(dāng)a，b∈（9，+∞）時(shí)，f（x）在（9，+∞）上為增函數(shù)，
∴
即在（9，+∞）上存在兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)使得（x-9）²=k
而y=（x-9）²在（9，+∞）上單調(diào)遞增，故不存在滿足條件的k值；
（4）當(dāng)a∈[0，3），b∈[3，9]時(shí)，3∈[a，b]，f（3）=108=kb
∴k=∈[12，36]
（5）當(dāng)a∈（3，9），b∈[9，+∞）時(shí)，9∈[a，b]，f（9）=0=ka
根據(jù)題意可知k＞0
∴a=0，不可能成立
（6）令f（x）=x（x-9）²=108解得x=3或12
令f（x）=x（x-9）²=0解得x=0或9
①當(dāng)a∈[0，3），b∈[9，12）時(shí)，
9∈[a，b]，f（9）=0=ka，3∈[a，b]，f（3）=108=kb
根據(jù)題意可知k＞0
∴a=0，k=∈[9，12]
②當(dāng)a∈[0，3），b∈[12，+∞）時(shí)，
9∈[a，b]，f（9）=0=ka，
根據(jù)題意可知k＞0
∴a=0，
且f（b）=b（b-9）²=kb
k=（b-9）²≥9
綜上所述：k∈[9，+∞）
故最小的k值為9
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問(wèn)題正確轉(zhuǎn)化，進(jìn)行分類(lèi)討論探究，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想，方程的思想，考察了推理判斷能力，是一道綜合性較強(qiáng)的題，思維難度大，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，屬于難題．