Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間(

1

3

，

2

3

)內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+1，對(duì)參數(shù)a的范圍進(jìn)行討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間(

1

3

，

2

3

)內(nèi)是減函數(shù)，即導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(

1

3

，

2

3

)內(nèi)恒小于0由二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化出關(guān)于參數(shù)的不等式，解出a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=x³+ax²+x+1∴f'（x）=3x²+2ax+1
當(dāng)a²≤3時(shí)，即-

3

≤a≤

3

時(shí)，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上遞增．
當(dāng)a²＞3時(shí)，即a＜-

3

或a＞

3

時(shí)，△＞0，f'（x）=0求得兩根為x=

-a± a2-3

3

即f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上遞增，在(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)遞減．
（2）f'（x）=3x²+2ax+1
若函數(shù)f（x）在區(qū)間(

1

3

，

2

3

)內(nèi)是減函數(shù)，則f′(

1

3

)≤0且f′(

2

3

)≤0
解得a≤-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解本題的關(guān)鍵是正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)于第一問要注意到參數(shù)的取值范圍對(duì)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有影響故需要對(duì)參數(shù)分類討論，而第二問中關(guān)鍵是把函數(shù)是減函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立的問題，轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)在應(yīng)用很廣泛．