Question

若復(fù)數(shù)z滿足||≤1，求：

(1)|z|的最大值和最小值；

(2)|z－1|²＋|z＋1|²的最大值和最小值；

(3)||²＋|z－2i|²的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如下圖所示，||＝＝2， 　　∴|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1． 　　(2)|z－1|2＋|z＋1|2＝2|z|2＋2， 　　∴|z－1|2＋|z＋1|2的最大值為20，最小值為4． 　　(3)如下圖，在圓面上任取一點(diǎn)P，與復(fù)數(shù)z1＝，z2＝2i的對應(yīng)點(diǎn)A、B相連，得向量、，再以、為鄰邊作平行四邊形將問題再次轉(zhuǎn)化為(1)的類型． 　　設(shè)zA＝，zB＝2i，P為圓面上任一點(diǎn)，zP＝z． 　　則2||2＋2||2＝||2＋(2||)2 　　＝7＋4||2， 　　∴|z－|2＋|z－2i|2＝(7＋4|z－－i|2)． 　　而|z－－i|max＝|O′M|＋1＝1＋， 　　|z－－i|min＝|O′M|－1＝－1， 　　∴|z－|2＋|z－2i|2的最大值為27＋，最小值為27－． 　　點(diǎn)評：利用復(fù)數(shù)模的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的兩邊的平方和與對角線的平方和的關(guān)系．