Question

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)作一條傾斜角為 α，長(zhǎng)度不超過8的弦，弦所在的直線與圓x2+y2=

3

4

有公共點(diǎn)，則 α的取值范圍是______．

Answer 1

拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），當(dāng)α=90°時(shí)，|AB|=2p=4＜8，故不滿足條件，
故α≠90°．
設(shè)弦所在的直線方程為 y=k（x-1），即 kx-y-k=0，代入拋物線y²=4x可得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

．
由于弦長(zhǎng)度不超過8，且由拋物線的定義可得|AB|=2+x₁+x₂，∴2+

4

k2

≤6，k²≥1，
故有 k≤-1，或 k≥1 ①．
再由弦所在的直線與圓x2+y2=

3

4

有公共點(diǎn)，可得圓心（0，0）到弦所在的直線 kx-y-k=0的距離小于或等半徑，
即

|0-0-k|

k2+1

≤

3

2

．
解得-

3

≤k≤

3

，且 k≠0 ②．
由①②可得 1≤k≤

3

，或-

3

≤k≤-1，即 1≤tanα≤

3

 或-

3

≤tanα≤-1．
再由 0≤α＜π可得，α的范圍是[

π

4

，

π

3

]∪[

2π

3

，

3π

4

]，
故答案為[

π

4

，

π

3

]∪[

2π

3

，

3π

4

]．