Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a_n=a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^?）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n= （n∈N^?），數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，試比較S₂與n的大�。�
（3）令c_n= （n∈N^*），數(shù)列{}的前n項和為T_n．求證：對任意n∈N^*，都有 T_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：第1問對條件式子兩邊同除以n，然后要用累加法可求出，從而可求出a_n．
第2問有兩種方法：方法1先對n=1，2，3時對進行比較，從而猜想出一個結(jié)論，然后對這個結(jié)論用數(shù)學歸納法進行證明；
方法2把的差構(gòu)造，然后利用f（n+1）-f（n）的結(jié)果正負判斷出f（n）的單調(diào)性．再通過n=1，2，3時，的結(jié)果變化趨勢得出最后的結(jié)論．第3問先由a_n寫出c_n，然后先對的用放縮法進行適當?shù)姆糯螅�然后采用裂項法得出一個結(jié)果，然后再對T_n的除第一項以外的每一項按此進行放縮和裂項，運算之后很容易就看出與2的大小關(guān)系，就可以得出最后的證明結(jié)論．
解答：解：（1）由題知，，
由累加法，當n≥2時，
代入a₁=1，得n≥2時，
又a₁=1，故a_n=n•3^n-1（n∈N^*）．
（2）n∈N^*時，．
方法1：當n=1時，；當n=2時，；
當n=3時，．
猜想當n≥3時，．
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當n=3時，由上可知成立；
②假設(shè)：n=k（k≥3）時，上式成立，即．
當n=k+1時，左邊=，
所以當n=k+1時成立．
由①②可知當n≥3，n∈N^*時，．
綜上所述：當n=1時，；當n=2時，；
當n≥3（n∈N^*）時，．
方法2：
記函數(shù)
所以
則
所以f（n+1）＜f（n）．
由于，此時；
，此時；
，此時；
由于，f（n+1）＜f（n），故n≥3時，f（n）≤f（3）＜0，此時．
綜上所述：當n=1，2時，；當n≥3（n∈N^*）時，．
（3）
當n≥2時，
所以當n≥2時，．
且故對n∈N^*，T_n＜2得證．
點評：本題第1問主要考查了用累加法求數(shù)列的通項．第2問主要考查了數(shù)學歸納證明，采用先猜想后證明的思維方式．第3問主要采用了放縮法及裂項法，難點在于放縮的把握放縮的方向和放縮的程度．總體來說第3問比較難．