Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)H在棱AA₁上，且HA₁=1．在側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)作邊長(zhǎng)為1的正方形EFGC₁，P是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到平面CDD₁C₁距離等于線段PF的長(zhǎng)．則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，|HP|²的最小值是（　　）

• A、21
• B、22
• C、23
• D、25

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BB′，垂足為M，連接MP，得出HP²=HM²+MP²；
當(dāng)MP最小時(shí)，HP²最小，利用空間直角坐標(biāo)系求出MP²的最小值即可．

解答： 解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BB′，垂足為M，連接MP，
則HM⊥PM，
∴HP²=HM²+MP²；
當(dāng)MP最小時(shí)，HP²最小，
過(guò)P作PN⊥CC′，垂足為N，
設(shè)P（x，4，z），則
F（1，4，3），M（4，4，3），N（0，4，z），且4≥x≥0，4≥z≥0；
∵PN=PF，∴

(x-1)2+(z-3)2

=x，化簡(jiǎn)得2x-1=（z-3）²；
∴MP²=（x-4）²+（z-3）²=（x-4）²+2x-1=x²-6x+15≥6，
當(dāng)x=3時(shí)，MP²取得最小值，此時(shí)HP²=HM²+MP²=4²+6=22為最小值．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間中的距離的最值問(wèn)題，是較難的題目．