Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=b₁，且對(duì)任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)對(duì)任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，，，進(jìn)行變形可得，構(gòu)造等差數(shù)列，即可求出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并代入可求得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)于不等式的右邊，可以構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證得結(jié)論；對(duì)于不等式的左邊，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：∵對(duì)任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，，
∴．
∴，即．
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．
∵a₁=b₁，且a₁+b₁=1，
∴a₁=b₁=．
∴．
∴，，
（2）證明：∵，，∴．
∴所證不等式，
即．
①先證右邊不等式：．
令f（x）=ln（1+x）-x，則．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．
分別取．
得．
即．
也即．
即．
②再證左邊不等式：．
令，則．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，即．
分別取．
得．
即．
也即．
即．
∴．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，及數(shù)列的求和問(wèn)題，題目綜合性強(qiáng)，特別是問(wèn)題（2）的設(shè)置，數(shù)列與不等式恒成立問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，能有效考查學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類(lèi)討論的思想．