Question

已知a_n=n+2，設(shè)b_n=

2an+1

an(an+1)(an+2)

，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：

7

60

≤S_n≤

13

24

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：b_n=

2an+1

an(an+1)(an+2)

=

1

(n+2)(n+4)

+

1

(n+3)(n+4)

=

1

2

（

1

n+2

-

1

n+4

）+（

1

n+3

-

1

n+4

），求和，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：a_n=n+2，b_n=

2an+1

an(an+1)(an+2)

=

1

(n+2)(n+4)

+

1

(n+3)(n+4)

=

1

2

（

1

n+2

-

1

n+4

）+（

1

n+3

-

1

n+4

）
∴S_n=

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n+2

-

1

n+4

）+（

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n+3

-

1

n+4

）
=

1

2

（

1

3

+

1

4

-

1

n+3

-

1

n+4

）+（

1

4

-

1

n+4

）=

13

24

-

1

n+3

-

2

n+4

，
∴n=1時(shí)，S_n=

7

60

，
∴

7

60

≤S_n≤

13

24

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列與不等式的綜合，正確求和是關(guān)鍵．