Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中點，以AE為折痕將△DAE向上折起，使D為D′，且平面D′AE⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求證：AD′⊥EB；
（Ⅱ）求直線AC與平面ABD'所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)勾股定理可知AE⊥BE，然后根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知BE⊥平面AED'，而AD'?平面AED'，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AD'⊥BE；
（Ⅱ）設(shè)AC與BE相交于點F，作FG⊥BD'，垂足為G，則FG⊥平面ABD'，連接AG，則∠FAG是直線AC與平面ABD'所成的角，在Rt△AEF中，求出AF，在Rt△EBD'中，求出FG，最后在三角形FAG求出此角的正弦值即可．

解答：解：（Ⅰ）在Rt△BCE中，BE=

BC2+CE2

=

2

，
在Rt△AD'E中，AE=

D′A2+D′E2

=

2

，
∵AB²=2²=BE²+AE²，
∴AE⊥BE．（2分）
∵平面AED'⊥平面ABCE，且交線為AE，
∴BE⊥平面AED'．（4分）
∵AD'?平面AED'，
∴AD'⊥BE．（6分）
（Ⅱ）設(shè)AC與BE相交于點F，由（Ⅰ）知AD'⊥BE，
∵AD'⊥ED'，
∴AD'⊥平面EBD'，（8分）
∵AD'?平面AED'，
∴平面ABD'⊥平面EBD'，且交線為BD'，
如圖，作FG⊥BD'，垂足為G，則FG⊥平面ABD'，（10分）
連接AG，則∠FAG是直線AC與平面ABD'所成的角．（11分）
由平面幾何的知識可知

EF

FB

=

EC

AB

=

1

2

，∴EF=

1

3

EB=

2

3

．
在Rt△AEF中，AF=

AE2+EF2

=

2+ 2 9

=

2 5

3

，
在Rt△EBD'中，

FG

FB

=

D′E

D′B

，可求得FG=

2 6

9

．
∴sin∠FAG=

FG

AF

=

2 6 9

2 5 3

=

30

15

．（14分）
∴直線AC與平面ABD'所成的角的正弦值為

30

15

．

點評：本題主要考查線面垂直的性質(zhì)，以及線面所成角的度量，同時考查空間想象能力，計算能力，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，解題的關(guān)鍵是尋找線面所成角．