已知點(diǎn)M到雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1的左、右焦點(diǎn)的距離之比為2：3．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)M的軌跡上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線y=x+m的距離為4，求實(shí)數(shù)m的值．
分析：（1）確定雙曲線的左、右焦點(diǎn)，利用距離之比為2：3，建立方程，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）圓上有且僅有三點(diǎn)到直線y=x+m的距離為4，所以圓心到直線y=x+m的距離為8，即可求出結(jié)論．
解答：解：（1）雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1的左、右焦點(diǎn)為F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0）．…（1分）
設(shè)點(diǎn)M（x，y），則
MF1
MF2
=
2
3
，即
(x+5)2+y2
(x-5)2+y2
=
2
3
．     …（3分）
化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2+26x+25=0．        …（7分）
（2）點(diǎn)M的軌跡方程即為（x+13）2+y2=144，它表示以（-13，0）為圓心，12為半徑的圓．       …（9分）
因?yàn)閳A上有且僅有三點(diǎn)到直線y=x+m的距離為4，
所以圓心到直線y=x+m的距離為8，即
|-13+m|
1+1
=8．  …（12分）
解得 m=13±8
2
．                                 …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個(gè)橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點(diǎn)P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點(diǎn)，若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線x2-
y2
3
=1的焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且MF1⊥x軸，則F1到直線F2M的距離為（　　）
A、
6
34
17
B、
4
51
17
C、
12
5
D、
5
12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列命題：
①動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1），則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓；
②橢圓
x2
2b2
+
y2
b2
=1的離心率是
2
2
；
③雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離是b；
④已知拋物線y2=2px上兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），且OA⊥OB（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則y1y2=-p2．
其中正確命題的序號(hào)是
①②③
①②③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2-
y2
b2
=1(b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線于點(diǎn)M，且∠MF1F2=300，圓O的方程為x2+y2=b2．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若雙曲線C上的點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為d1，d2，求d1•d2的值；
（3）過(guò)圓O上任意一點(diǎn)P（x0，y0）作切線l交雙曲線C于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，求
OA
•
OB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線x2-
y2
3
=1的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F2的直線L與其右支相交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在x軸的上方），則點(diǎn)M到直線y=
3
x的距離d的取值范圍是
 
．

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