(本小題滿分15分)已知函數(shù).
(1)當時,求
在
最小值;
(2)若存在單調(diào)遞減區(qū)間,求
的取值范圍;
(3)求證:(
).
(1) ;(2)
;(3)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)由求導(dǎo)判的函數(shù)在
上單調(diào)遞增,可求函數(shù)的最小值;(2)因
存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以
有正數(shù)解,再分類討論對類一元二次函數(shù)存在正解進行討論.(3)利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明即可.
試題解析:(1),定義域為
.
,
在
上是增函數(shù).
.
(2) 因為
因為若存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以
有正數(shù)解.
即有
的解
當時,明顯成立 .
②當時,
開口向下的拋物線,
總有
的解;
③當時,
開口向上的拋物線,
即方程有正根.
因為,
所以方程有兩正根.
當時,
;
……… 4分
,解得
.
綜合①②③知:.
……… 9分
(3)(法一)根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)論,當時,
,即
.
令,則有
,
.
,
.
……… 15分
(法二)當時,
.
,
,即
時命題成立.
設(shè)當時,命題成立,即
.
時,
.
根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)論,當時,
,即
.
令,則有
,
則有,即
時命題也成立.
因此,由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立. ………15分
考點:1.求導(dǎo)判單調(diào)性;2.方程與根的關(guān)系;3.數(shù)學(xué)歸納法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年福建省高三上學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分15分)
已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,試分別解答以下兩小題.
(�。┤舨坏仁�對任意的
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(ⅱ)若是兩個不相等的正數(shù),且
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省高三下學(xué)期3月聯(lián)考理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分15分).
已知、
分別為橢圓
:
的
上、下焦點,其中也是拋物線
:
的焦點,
點是
與
在第二象限的交點,且
。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知點P(1,3)和圓:
,過點P的動直線
與圓
相交于不同的兩點A,B,在線段AB取一點Q,滿足:
,
(
且
)。求證:點Q總在某定直線上。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年浙江省高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(本小題滿分15分)
如圖已知,橢圓的左、右焦點分別為
、
,過
的直線
與橢圓相交于A、B兩點。
(Ⅰ)若,且
,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若求
的最大值和最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆浙江省寧波市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分15分)若函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間
,滿足
在
上的值域為
,則稱這樣的函數(shù)
為“優(yōu)美函數(shù)”.
(Ⅰ)判斷函數(shù)是否為“優(yōu)美函數(shù)”?若是,求出
;若不是,說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年江蘇省高二下學(xué)期期中考試理數(shù) 題型:解答題
(本小題滿分15分)在5道題中有3道理科題和2道文科題,如果不放回地依次抽取2道題.求:
(1)第1次抽到理科題的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率;
(3)在第1次抽到理科題的條件下,第2次抽到文科題的概率
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