Question

（本小題滿分15分）已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求在最小值；

（2）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；

（3）求證：（）．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)由求導(dǎo)判的函數(shù)在上單調(diào)遞增，可求函數(shù)的最小值；（2）因存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解，再分類討論對類一元二次函數(shù)存在正解進(jìn)行討論.（3）利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.

試題解析：（1），定義域為．

       ，                       

       在上是增函數(shù)．

.

（2）   因為

因為若存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解.

即有的解 

當(dāng)時，明顯成立 .

②當(dāng)時，開口向下的拋物線，總有的解；

③當(dāng)時，開口向上的拋物線，

即方程有正根.

因為，

所以方程有兩正根.

當(dāng)時，；                        ……… 4分

 

，解得．                             

 

綜合①②③知：．                                       ……… 9分

（3）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)時，，即．

令，則有，    ．

，

．                                 ……… 15分

 (法二)當(dāng)時，．

，，即時命題成立．

設(shè)當(dāng)時，命題成立，即 ．

 時，．

根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)時，，即．

令，則有，

則有，即時命題也成立．

因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．                            ………15分

考點(diǎn)：1.求導(dǎo)判單調(diào)性；2.方程與根的關(guān)系；3.數(shù)學(xué)歸納法.