Question

已知函數(shù)f(x)＝
(1)若x<a時，f(x)<1恒成立，求a的取值范圍；
(2)若a≥－4時，函數(shù)f(x)在實數(shù)集R上有最小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）a≤log₂（2）a>時，函數(shù)f(x)有最小值

(1)因為x<a時，f(x)＝4^x－4×2^x－a，所以令t＝2^x，則有0<t<2^a.
當(dāng)x<a時f(x)<1恒成立，轉(zhuǎn)化為t²－4×<1，
即>t－在t∈(0，2^a)上恒成立．
令p(t)＝t－，t∈(0，2^a)，則p′(t)＝1＋>0，所以p(t)＝t－在(0，2^a)上單調(diào)遞增，
所以≥2^a－，所以2^a≤，解得a≤log₂.
(2)當(dāng)x≥a時，f(x)＝x²－ax＋1，即f(x)＝＋1－，
當(dāng)≤a時，即a≥0時，f(x)_min＝f(a)＝1；
當(dāng)>a時，即－4≤a<0，f(x)_min＝f＝1－.
當(dāng)x<a時，f(x)＝4^x－4×2^x－a，令t＝2^x，t∈(0，2^a)，則h(t)＝t²－t＝－，
當(dāng)<2^a，即a> 時，h(t)_min＝h＝－；
當(dāng)≥2^a，即a≤時，h(t)在開區(qū)間t∈(0，2^a)上單調(diào)遞減，h(t)∈(4^a－4，0)，無最小值．
綜合x≥a與x<a，所以當(dāng)a> 時，1>－，函數(shù)f(x)_min＝－；
當(dāng)0≤a≤時，4^a－4<0<1，函數(shù)f(x)無最小值；
當(dāng)－4≤a<0時，4^a－4<－3≤1－，函數(shù)f(x)無最小值．
綜上所述，當(dāng)a>時，函數(shù)f(x)有最小值．