設(shè)橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,A是橢圓E上一點,AF1⊥F1F2,原點到直線AF2的距離是
1
3
|OF1|.△AF1F2 的面積是等于橢圓E的離心率e,
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ),若直線l:y=x+m與橢圓E交于B、C兩點,問:是否存在實數(shù)m使∠BF2C為鈍角?如果存在,求出m的范圍;如果不存在,說明理由.
分析:(Ⅰ)表示出直線AF2的方程,利用原點O到直線AF2的距離為
1
3
|OF1|,及c2=a2-b2,即可求橢圓方程;
(Ⅱ)將直線y=x+m代入
x2
2
+y2=1
并化簡,利用韋達(dá)定理,結(jié)合∠BF2C是鈍角,得
F2B
F2C
<0
,即可求得結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),∵AF1⊥F1F2,,不妨設(shè)A(-c,y)(y>0),
又∵點A在橢圓上,∴y=
b2
a
,從而得A(-c,
b2
a
),直線AF2的方程為y=-
b2
2ac
(x-c)
,
整理可得b2x+2acy-b2c=0,由題設(shè),原點O到直線AF2的距離為
1
3
|OF1|,
c
3
=
b2c
b4+4a2c2
,將c2=a2-b2代入上式化簡得a2=2b2
由題設(shè)
1
2
×2c×
b2
a
=
2
2
②,①②聯(lián)立得b=1,a=
2

∴所求橢圓方程為
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),將直線y=x+m代入
x2
2
+y2=1
并化簡得3x2+4mx+2m2-2=0,由韋達(dá)定理知x1+x2=-
4
3
m
,x1x2=
2
3
(m2-1)
,
且△=16m2-24(m2-1)>0,∴|m|<
3
,
由題設(shè)∠BF2C是鈍角,得
F2B
F2C
<0

∴(x1-1)(x2-1)+y1y2<0,
化簡可得3m2+4m-1<0,∴
-2-
7
3
<m<
-2+
7
3
,滿足|m|<
3
,當(dāng)m=-1時,B,F(xiàn)2,C三點共線,
故存在m∈(
-2-
7
3
,-1)∪(-1,
-2+
7
3
)
滿足條件.
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a,b>0)
M(2.
2
),N(
6
,1)
,O為坐標(biāo)原點
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒在兩個交點A,B且
OA
OE
?若存在,寫出該圓的方程,關(guān)求|AB|的取值范圍;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•安徽模擬)設(shè)橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)過M(2,
2
),N(
6
,1)兩點,O為坐標(biāo)原點,
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在圓心在原點的圓,使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B,且
OA 
OB 
?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB|取值范圍;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)橢圓E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
2
2
,已知A(a,0),B(0,-b),且原點O到直線AB的距離為
2
3
3

(Ⅰ)  求橢圓E的方程;
(Ⅱ)已知過點M(1,0)的直線交橢圓E于C,D兩點,若存在動點N,使得直線NC,NM,ND的斜率依次成等差數(shù)列,試確定點N的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
2
2
,且過點M(2,
2
),O為坐標(biāo)原點.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)是否存在以圓心為原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B,且
OA
OB
?若存在,寫出該圓的方程;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案