已知(1＋x)n＝1＋x＋x2＋…＋xn，用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)證明：＋2＋3C3n＋…＋n＝n·2n－1

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已知集合M＝{a，0}，N＝{x|2x2－5x＜0，x∈Z}，若M∩N≠，則a等于

[　　]

A．1
B．2
C．1或2
D．1或

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已知(1＋x)n＝1＋x＋x2＋…＋xn，用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)證明：＋2＋3C3n＋…＋n＝n·2n－1

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已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，若a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝16，則自然數(shù)n＝________．

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已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè)．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(2)若數(shù)列{an}滿足a1＝，an+1＝f(an)，bn＝－1，n∈N*，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求出{bn}的通項(xiàng)公式；

(3)在(2)的條件下，證明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)．

【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

(2)an＋1＝f(an)＝(n∈N*)，bn＝－1， ∴＝＝＝，

∴{bn}為等比數(shù)列，q＝.又∵a1＝，∴b1＝－1＝，

bn＝b1qn－1＝n－1＝n(n∈N*)．……………………………9分

(3)證明：∵anbn＝an＝1－an＝1－＝，

∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝＝1－<1(n∈N*)．

 

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