19.定義函數(shù)序列:${f_1}(x)=f(x)=\frac{x}{1-x}$,f2(x)=f(f1(x)),f3(x)=f(f2(x)),…,fn(x)=f(fn-1(x)),則函數(shù)y=f2017(x)的圖象與曲線$y=\frac{1}{x-2017}$的交點(diǎn)坐標(biāo)為(  )
A.$({-1,-\frac{1}{2018}})$B.$({0,\frac{1}{-2017}})$C.$({1,\frac{1}{-2016}})$D.$({2,\frac{1}{-2015}})$

分析 由題意,可先求出f1(x),f2(x),f3(x)…,歸納出fn(x)的表達(dá)式,即可得出f2017(x)的表達(dá)式,進(jìn)而得到答案.

解答 解:由題意f1(x)=f(x)=$\frac{x}{1-x}$.
f2(x)=f(f1(x))=$\frac{\frac{x}{1-x}}{1-\frac{x}{1-x}}$=$\frac{x}{1-2x}$,
f3(x)=f(f2(x))=$\frac{\frac{x}{1-2x}}{1-\frac{x}{1-2x}}$=$\frac{x}{1-3x}$,

fn(x)=f(fn-1(x))=$\frac{x}{1-nx}$,
∴f2017(x)=$\frac{x}{1-2017x}$,
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{x-2017}\\ y=\frac{x}{1-2017x}\end{array}\right.$得:$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\frac{1}{-2016}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=\frac{1}{-2018}\end{array}\right.$,
由${f_1}(x)=f(x)=\frac{x}{1-x}$中x≠1得:
函數(shù)y=f2017(x)的圖象與曲線$y=\frac{1}{x-2017}$的交點(diǎn)坐標(biāo)為$({-1,-\frac{1}{2018}})$,
故選:A

點(diǎn)評 本題考查邏輯推理中歸納推理,由特殊到一般進(jìn)行歸納得出結(jié)論是此類推理方法的重要特征.

練習(xí)冊系列答案
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