Question

已知關(guān)于x的不等式|x|+|x+

1

4

|≥|a|+|a-

1

4

|在x∈R時恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：關(guān)于x的不等式|x|+|x+

1

4

|≥|a|+|a-

1

4

|在x∈R時恒成立?(|x|+|x+

1

4

|)min≥|a|+|a-

1

4

|，x∈R．利用絕對值的幾何意義和對a分類討論即可得出．

解答：解：關(guān)于x的不等式|x|+|x+

1

4

|≥|a|+|a-

1

4

|在x∈R時恒成立?(|x|+|x+

1

4

|)min≥|a|+|a-

1

4

|，x∈R．
∵|x|+|x+

1

4

|≥

1

4

，
∴|a|+|a-

1

4

|≤

1

4

．（*）
①當(dāng)a＞

1

4

時，（*）?2a-

1

4

≤

1

4

，解得a≤

1

4

，此時a∈∅；
②當(dāng)0≤a≤

1

4

時，（*）?a+

1

4

-a≤

1

4

，即0≤0，此時恒成立，∴0≤a≤

1

4

；
③當(dāng)a＜0時，與①同理，此時a∈∅．
綜上可知：實數(shù)a的取值范圍是[0，

1

4

]．
故答案為：[0，

1

4

]．

點評：本題考查了絕對值的幾何意義和分類討論的方法，屬于基礎(chǔ)題．