設(shè)f（x）是定義在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則關(guān)于函數(shù)f（x）有
（1）對任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）對任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）對任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）＜f（x2）；
（4）對任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）=f（x2），
上述四個命題中正確的有
 
．
分析：觀察四個命題（1）（2）兩個不能同時成立，（3）（4）兩個不能同時成立，對于命題（1）（2）可采取令x1=x，x2=1-x，即可得到
f(x)
f(1-x )
+
f(1-x )
f(x )
≥2結(jié)合已知條件②即可得到（2）是正確的；對于（3）（4）對條件
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2中的兩個變量x1，x2交換位置可得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤2兩式相加即可得到結(jié)論．
解答：解：由于命題（1）（2）兩個不能同時成立，（3）（4）兩個不能同時成立，
對于命題（1）（2），令x1=x，x2=1-x，結(jié)合①則有
f(x)
f(1-x )
+
f(1-x )
f(x )
≥2，等號當(dāng)
f(x)
f(1-x )
=
f(1-x )
f(x )
時成立
又由②知
f(x)
f(1-x )
+
f(1-x )
f(x )
≤2，由此知
f(x)
f(1-x )
=
f(1-x )
f(x )
=1，即f（x）=f（1-x），故（2）對；
對于（3）（4），將②中的變量x1，x2交換位置可得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤2
故有
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤4等號當(dāng)且僅當(dāng)
f(x2)
f(x1)
=
f(x1)
f(x2)
=1，
f(1-x2)
f(1-x1)
=
f(1-x1)
f(1-x2)
=1時成立
 又由①即基本不等式知
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥4等號當(dāng)且僅當(dāng)
f(x2)
f(x1)
=
f(x1)
f(x2)
=1，
f(1-x2)
f(1-x1)
=
f(1-x1)
f(1-x2)
=1時成立
故有
f(x2)
f(x1)
=
f(x1)
f(x2)
=1，即對任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）=f（x2），（4）正確
綜上知（2）（4）正確．
故答案為（2）（4）．
點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等號成立的條件找到命題正確判斷的依據(jù)，本題較抽象，要求解題者構(gòu)造證明問題的意識要強(qiáng)．入手難，難度較大．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
12
對稱，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

例2．設(shè)f（x）是定義在[-3，
2
]上的函數(shù)，求下列函數(shù)的定義域（1）y=f(
x
-2)（2）y=f(
x
a
)(a≠0)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，而當(dāng)x∈[2，3]時，g（x）=-x2+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）對任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|；
（Ⅲ）對任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間（-2，1]上的圖象，則f（2013）+f（2014）=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•內(nèi)江一模）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=（
1
2
）x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是
（
34
，2）
（
34
，2）
．

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