設函數(shù)f(x)＝xsinx(x∈R)．

(1)證明f(x＋2kπ)－f(x)＝2kπsinx，其中k為整數(shù)；

(2)設x0為f(x)的一個極值點，證明[f(x0)]2＝．

答案：
解析：

　　證明：(1)由函數(shù)f(x)的定義，對任意整數(shù)k，有f(x＋2kπ)－f(x)＝(x＋2kπ)sin(x＋2kπ)－xsinx＝(x＋2kπ)sinx－xsinx＝2kπsinx．

　　(2)函數(shù)f(x)在定義域R上可導，(x)＝sinx＋xcosx，①

　　令(x)＝0，得sinx＋xcosx＝0．顯然，對于滿足上述方程的x有cosx≠0，上述方程化簡為x＝－tanx．如圖所示，此方程一定有解．f(x)的極值點x0一定滿足tanx0＝－x0．

　　由sin2x＝，得sin2x0＝．

　　因此[f(x0)]2＝x02sin2x0＝．

　　解析：(1)根據(jù)三角函數(shù)的公式化簡；(2)根據(jù)極值的概念表示出[f(x0)]2，進而證明．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)＝若f(α)＝4，則實數(shù)α＝(　　)

A．－4或－2　　　　　　　   B．－4或2

C．－2或4                  D．－2或2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，則f－1(x)的定義域是________．

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆江西省南昌市高三上學期第一次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

對實數(shù)a和b，定義運算“⊗”：a⊗b＝，設函數(shù)f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是(　　)

A．(－∞，－2]∪                B．(－∞，－2]∪

C.∪                D.∪

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆黑龍江省高一上學期期末考試數(shù)學試卷 題型：解答題

(本題滿分12分)設函數(shù)f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x＋m)．

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和在[0，π]上的單調遞增區(qū)間．

(2)當x∈時，－4<f(x)<4恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆山西省高二第二學期3月月考理科數(shù)學試卷 題型：選擇題

設函數(shù)f(x)＝kx3＋3(k－1)x2＋1在區(qū)間（0，4）上是減函數(shù)，則的取值范圍是 (   )

A.      B.    C.         D.

 

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