Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有Sn=an+n﹣3成立．

（Ⅰ）求證：{an﹣1}為等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析(2) Tn=

【解析】試題分析：（1）利用當(dāng)n≥2時(shí)， 得到，通過構(gòu)造得到,進(jìn)而得到所求結(jié)論；（2）根據(jù)數(shù)列{nan}通項(xiàng)公式得特點(diǎn)，選擇分組求和法和錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和。

試題解析：（I）證明：∵對(duì)任意的正整數(shù)n，都有Sn=an+n﹣3成立．

∴當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1= ﹣2，解得a1=4．

當(dāng)n≥2時(shí)， ，

整理得

∴ an﹣1=3（an﹣1﹣1）(n≥2)，

又，

∴數(shù)列{an﹣1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．

（II）解：由（I）可得： ，

∴ an=3n+1，

∴nan=n3n+n．

∴Tn=3+2×32+3×33+…+n3n

=3+2×32+3×33+…+n3n．

設(shè)An=3+2×32+3×33+…+n3n ①

則3An=32+2×33+…+（n﹣1）3n+n3n+1 ②

①﹣②得

﹣2An=3+32+…+3n﹣n3n+1= ﹣n3n+1，

∴ An= ，

∴Tn= ．