已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2為正三角形，則該橢圓的離心率e是（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
1
3
D、
3
3
分析：先求出 AF1 的長(zhǎng)，直角三角形AF1F2 中，由邊角關(guān)系得 tan30°=
AF1
F1F2
=
b2
a
2c
，建立關(guān)于離心率的方程，
解方程求出離心率的值．
解答：解：把x=-c代入橢圓的方程可得y=
b2
a
，
∴AF1 =
b2
a
，
由tan30°=
3
3
=
AF1
F1F2
=
b2
a
2c
=
a2-c2
2ac
=
1-e2
2e
，
求得 3e2+2
3
e-3=0，
解得 e=-
3
（舍去），或e=
3
3
，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系，解方程求離心率的大小，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•聊城一模）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一點(diǎn)，且|F1F2|=2，∠F1PF2=
π
3
，△F1PF2的面積為
3
3

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(
5
4
，0)，過(guò)點(diǎn)F2且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)于任意的k∈R，
MA
•
MB
是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•青州市模擬）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，P到焦點(diǎn)F2的距離的最大值為
2
+1，且△PF1F2的最大面積為1．
（ I）求橢圓C的方程．
（ II）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(
5
4
，0)，過(guò)點(diǎn)F2且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．對(duì)于任意的k∈R，
MA
•
MB
是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，P到焦點(diǎn)F2（1，0）的距離的最大值為
2
+1．
（1）求橢圓C的方程．
（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（
5
4
，0），過(guò)點(diǎn)F2且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．對(duì)于任意的k∈R，
MA
•
MB
是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：山東省期中題 題型：解答題

已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，P到焦點(diǎn)F2的距離的最大值為+1，且△PF1F2的最大面積為1。
（1）求橢圓C的方程。
（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)F2且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)。對(duì)于任意的k∈R，是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是說(shuō)明理由。 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年山東省青島十九中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：的左右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一點(diǎn)，且的面積為
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)F2且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)于任意的是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是說(shuō)明理由．

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