Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax，g（x）=ax-lnx，其中a＜0，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若g（x）在（1，g（1））處的切線l與直線x-3y-5=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；
（Ⅲ）試探究能否存在區(qū)間M，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性？若能存在，說明區(qū)間M的特點，并指出f（x）和g（x）在區(qū)間M上的單調(diào)性；若不能存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用g（x）在（1，g（1））處的切線l與直線x-3y-5=0垂直，可得g（x）在（1，g（1））處的切線斜率為-3，利用導(dǎo)數(shù)，即可求a的值；
（Ⅱ）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；
（Ⅲ）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得能否存在區(qū)間M，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性．

解答： 解：（Ⅰ）∵g（x）=ax-lnx，∴g（1）=a，g′(x)=a-

1

x

，
∵g（x）在（1，g（1））處的切線l與直線x-3y-5=0垂直，
∴g′(1)×

1

3

=-1⇒(a-1)•

1

3

=-1⇒a=-2…（3分）
（Ⅱ）f（x）的定義域為R，且 f'（x）=e^x+a．
令f'（x）=0，得x=ln（-a）．   …（4分）
若ln（-a）≤0，即-1≤a＜0時，f′（x）≥0，f（x）在x∈[0，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=1；…（5分）
若ln（-a）≥2，即a≤-e²時，f′（x）≤0，f（x）在x∈[0，2]上為減函數(shù)，
∴f(x)min=f(2)=e2+2a； …（6分）
若0＜ln（-a）＜2，即-e²＜a＜-1時，
由于x∈[0，ln（-a））時，f'（x）＜0；x∈（ln（-a），2]時，f'（x）＞0，
∴f（x）_min=f（ln（-a））=aln（-a）-a
綜上可知f（x）_min=

1，-1≤a＜0 e2+2a，a≤-e2 aln(-a)-a，-e2＜a＜-1

…（8分）
（Ⅲ）g（x）的定義域為（0，+∞），且 g′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．
∵a＜0時，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．…（9分）
令f'（x）=0，得x=ln（-a）
①若-1≤a＜0時，ln（-a）≤0，在（ln（-a），+∞）上f'（x）＞0，∴f（x）單調(diào)遞增，
由于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴不能存在區(qū)間M，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性；…（10分）
②若a＜-1時，ln（-a）＞0，在（-∞，ln（-a））上f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在（ln（-a），+∞）上f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
由于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴存在區(qū)間M⊆（0，ln（-a）]，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上均為減函數(shù)．
綜上，當(dāng)-1≤a≤0時，不能存在區(qū)間M，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a＜-1時，存在區(qū)間M⊆（0，ln（-a）]，使得f（x）和g（x）在區(qū)間M上均為減函數(shù)．…（13分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．