已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且|OP|=，·=（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點(diǎn)，若橢圓C上兩點(diǎn)M、N使+=λ，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值。
解：（1）設(shè)
由得
由得
即
所以
又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110920/20110920113531906989.gif">
所以
橢圓C的方程為；
（2）由得
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組
消去y得
設(shè)
則
∴
∵
∴，
得
于是
∴

又到直線的距離為
∴
當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，的最大值為。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江西省高三第一次統(tǒng)考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)，直線y=x+與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑

的圓相切，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任一點(diǎn)，△F1PF2的重心為G，內(nèi)心為I，且IG∥F1F2。⑴

求橢圓C的方程。⑵若直線L：y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B且線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)

C(，0)求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江西省高三第七次月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)，直線y=x+與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任一點(diǎn)，△F1PF2的重心為G，內(nèi)心為I，且IG∥F1F2。⑴求橢圓C的方程。⑵若直線L：y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B且線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)C(，0)求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖北省模擬題 題型：解答題

已知橢圓C ：（a＞b＞0），直線y=x+與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F(xiàn)1、F2為其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任一點(diǎn)，△F1PF2的重心為G，內(nèi)心為I，且IG∥F1F2。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線L：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B且線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)C（，0），求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年安徽省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：+（a＞b＞0）的焦距為4，且過點(diǎn)P（，）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y）（xy≠0）為橢圓C上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為E．取點(diǎn)A（0，2），連接AE，過點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D．點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，作直線QG，問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)？并說明理由．

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已知橢圓C：（a＞b＞0），直線l過點(diǎn)A（a，0）和
B（0，b）．
（1）以AB為直徑作圓M，連接MO并延長，與橢圓C的第三象限部分交于N，若直線NB是圓M的切線，求橢圓的離心率；
（2）已知三點(diǎn)D（4，0），E（0，3），G（4，3），若圓M與△DEG恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓方程．

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