Question

如圖1，在邊長為的正三角形中，，，分別為，，上的點(diǎn)，且滿足.將△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，連結(jié)，.（如圖2）

 

（Ⅰ）求證：⊥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】(I)在平面圖形中證明,即可.

(2)可以采用空間向量法求解，求出平面的法向量，那么與的夾角（銳角）與所求線面角互余.

（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415082887148337/SYS201208241508567934690189_DA.files/image011.png">，，

所以，而，即△是正三角形.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415082887148337/SYS201208241508567934690189_DA.files/image016.png">, 所以.所以在圖2中有，.

所以為二面角的平面角. 

又二面角為直二面角，　所以.   

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415082887148337/SYS201208241508567934690189_DA.files/image023.png">,　所以⊥平面,即⊥平面.     

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知⊥平面，，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，.

在圖１中，連結(jié).因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415082887148337/SYS201208241508567934690189_DA.files/image035.png">，

所以∥，且.所以四邊形為平行四邊形.

所以∥，且.

故點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，，0）.圖2

所以， ，

不妨設(shè)平面的法向量，則

即令，得.

所以

故直線與平面所成角的大小為.